10. В параллелограмме ZRCN диагональ ZC в 2 раза больше стороны ZR и ∠ZCN = 22°. Найдите меньший угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Обозначим ZR = CN = a. По условию ZC = 2a. В треугольнике ZCN по теореме косинусов:

ZN² = (2a)² + a² − 2 · 2a · a · cos 22° = a²(5 − 4 cos 22°).

По закону параллелограмма сумма квадратов диагоналей равна удвоенной сумме квадратов сторон, поэтому RN² = 2(ZN² + a²) − (2a)² = 16a² sin² 11°. Значит, RN = 4a sin 11°.

Рассмотрим диагонали как векторы ZC = ZR + ZN и RN = ZN − ZR. Их скалярное произведение равно ZN² − ZR² = 8a² sin² 11°. Поэтому косинус меньшего угла φ между диагоналями равен (8a² sin² 11°) / (2a · 4a sin 11°) = sin 11° = cos 79°. Следовательно, φ = 79°.

Ответ: 79°.