10. В равнобедренной трапеции ABCD диагональ AC — биссектриса угла C. Периметр \(P_{ABCD}=27\), \(AD-BC=5\). Найти BC и AD.

Так как \(BC\parallel AD\), углы \(\angle BCA\) и \(\angle CAD\) равны как накрест лежащие. По условию AC — биссектриса угла C, поэтому \(\angle BCA=\angle ACD\). Значит, \(\angle CAD=\angle ACD\), и в треугольнике ACD противоположные этим углам стороны равны: \(AD=CD\).

Трапеция равнобедренная, поэтому \(AB=CD=AD\). Из периметра: \(BC+3AD=27\). Вместе с \(AD-BC=5\) получаем \(4AD=32\), откуда \(AD=8\), а \(BC=8-5=3\).

Ответ: \(BC=3\), \(AD=8\).