9. PQ — средняя линия трапеции ABCD, AB = CD = 6. Диагональ AC пересекает PQ в точке M; PM = 4, MQ = 7. Найти ∠B и ∠D.

В трапеции отрезки средней линии, отсекаемые диагональю, равны половинам оснований: \(BC=2PM=8\), \(AD=2MQ=14\).

Разность оснований равна \(14-8=6\). В равнобедренной трапеции горизонтальное смещение у каждой боковой стороны составляет половину разности: \(6:2=3\). Боковая сторона равна 6, поэтому в прямоугольном треугольнике при основании прилежащий катет равен 3, а гипотенуза — 6. Следовательно, \(\cos\angle D=3/6=1/2\), то есть \(\angle D=60°\).

Соседние углы при боковой стороне supplementary: \(\angle B=180°-60°=120°\).

Ответ: \(\angle B=120°\), \(\angle D=60°\).