10. В ромбе ABCD биссектриса угла BAC пересекает сторону BC и диагональ BD соответственно в точках K и P. Найдите ∠APB, если ∠AKC = 150°.

Так как B, K, C лежат на одной прямой, углы AKB и AKC смежные: ∠AKB = 180° − 150° = 30°.

В треугольнике ABC угол B равен углу ABK, а угол BAK равен половине угла BAC, поскольку AK — биссектриса. Из суммы углов треугольника AKB следует, что ∠BAK = ∠AKB = 30°. Значит, ∠BAC = 60°.

Диагональ AC ромба делит угол A пополам, поэтому ∠A = 120°. Тогда ∠B = 60°. Диагональ BD ромба делит угол B пополам, следовательно, ∠ABP = 30°. В треугольнике ABP также ∠BAP = 30°, поэтому ∠APB = 180° − 30° − 30° = 120°.

Ответ: 120°.