10. В треугольнике ABC известно, что AB = 6, BC = 10, sin ∠ABC = 1/3. Найдите периметр треугольника ABC.

Синус угла не определяет однозначно, острый он или тупой. Поэтому возможны два значения косинуса: cos ∠ABC = ±√(1 − 1/9) = ±2√2/3.

По теореме косинусов для AC:

AC² = AB² + BC² − 2 · AB · BC · cos ∠ABC = 136 − 120 cos ∠ABC.

Если угол острый, cos ∠ABC = 2√2/3, поэтому AC = √(136 − 80√2), а периметр равен 16 + √(136 − 80√2).

Если угол тупой, cos ∠ABC = −2√2/3, поэтому AC = √(136 + 80√2), а периметр равен 16 + √(136 + 80√2). Обе длины удовлетворяют неравенству треугольника.

Ответ: возможны два периметра: 16 + √(136 − 80√2) или 16 + √(136 + 80√2).