№10. В треугольнике ABC проведена биссектриса AL, угол ALB равен 102°, угол ACB равен 52°. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.

Решение:

1. Рассмотрим треугольник ALB. Сумма углов в треугольнике равна 180°.
2. \( \angle BAL + \angle ALB + \angle LBA = 180° \)
3. \( \angle BAL + 102° + \angle ABC = 180° \)
4. \( \angle BAL + \angle ABC = 180° - 102° = 78° \)
5. AL — биссектриса угла A, значит, \( \angle BAL = \angle CAL = \frac{1}{2} \angle BAC \).
6. В треугольнике ABC: \( \angle BAC + \angle ABC + \angle ACB = 180° \)
7. \( \angle BAC + \angle ABC + 52° = 180° \)
8. \( \angle BAC + \angle ABC = 180° - 52° = 128° \)
9. Подставим \( \angle BAC = 2 \angle BAL \) в уравнение 8:
10. \( 2 \angle BAL + \angle ABC = 128° \)
11. Теперь у нас есть система из двух уравнений:
12. 1) \( \angle BAL + \angle ABC = 78° \)
13. 2) \( 2 \angle BAL + \angle ABC = 128° \)
14. Вычтем уравнение 1 из уравнения 2:
15. \( (2 \angle BAL + \angle ABC) - (\angle BAL + \angle ABC) = 128° - 78° \)
16. \( \angle BAL = 50° \)
17. Теперь найдем \( \angle ABC \) из уравнения 1:
18. \( 50° + \angle ABC = 78° \)
19. \( \angle ABC = 78° - 50° = 28° \)

Ответ: 28°.