10. В треугольнике две стороны равны 20 и 15, а высота, проведённая к третьей стороне, равна 12. Найдите третью сторону.

Опустим высоту 12 на третью сторону. Она делит треугольник на два прямоугольных треугольника. Проекции сторон 20 и 15 на прямую, содержащую основание, равны:

\(\sqrt{20^2-12^2}=\sqrt{256}=16\), \(\sqrt{15^2-12^2}=\sqrt{81}=9.\)

Если основание высоты лежит между концами третьей стороны, её длина равна \(16+9=25\). Если обе вершины находятся по одну сторону от основания высоты, длина третьей стороны равна \(|16-9|=7\). Оба случая образуют допустимый треугольник.

Ответ: 7 или 25.