10. В угол величиной 70° вписана окружность, которая касается его сторон в точках А и В. На одной из дут этой окружности выбрали точку С так, как показано на рисунке. Найдите величину угла АСВ.

Задание 10

Дано:

• Угол с вершиной вне окружности равен 70°.
• Окружность касается сторон угла в точках А и В.
• Точка C находится на дуге AB.

Найти: ∠ACB.

Решение:

1. Рассмотрим треугольник OAB, где O — центр окружности. Так как OA и OB — радиусы, проведенные в точки касания, то OA ⊥ стороне угла и OB ⊥ стороне угла.
2. Сумма углов в четырехугольнике OACB равна 360°.
3. ∠OAC = ∠OBC = 90° (радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной).
4. ∠AOB = 360° - ∠OAC - ∠OBC - ∠ACB (где ∠ACB - угол между касательными, не данный в условии).
5. В задании дан угол величиной 70°, в который вписана окружность. Это означает, что угол, образованный двумя касательными, равен 70°.
6. Пусть вершина угла, в который вписана окружность, — точка P. Тогда ∠APB = 70°.
7. В четырехугольнике PAOB, сумма углов равна 360°. ∠PAO = ∠PBO = 90°.
8. Следовательно, ∠AOB = 360° - 90° - 90° - 70° = 110°.
9. Центральный угол ∠AOB равен 110°.
10. Угол ∠ACB — вписанный угол, опирающийся на дугу AB.
11. Градусная мера дуги AB равна градусной мере центрального угла ∠AOB, то есть 110°.
12. Градусная мера вписанного угла ∠ACB равна половине градусной меры дуги AB.
13. ∠ACB = \( \frac{1}{2} \times 110° \) = 55°.

Ответ: 55°.