10. Высота конуса равна 12 см, а образующая 13 см. Найдите радиус основания и объем конуса.

Решение:

В прямоугольном треугольнике, образованном высотой конуса (h), радиусом основания (r) и образующей (l), выполняется теорема Пифагора: \( r^2 + h^2 = l^2 \).

1. Найдем радиус основания (r):
• Дано: \( h = 12 \) см, \( l = 13 \) см.
• Подставим значения в теорему Пифагора: \( r^2 + 12^2 = 13^2 \)
• \( r^2 + 144 = 169 \)
• \( r^2 = 169 - 144 \)
• \( r^2 = 25 \)
• \( r = \sqrt{25} = 5 \) см (радиус не может быть отрицательным).
2. Найдем объем конуса (V):
• Формула объема конуса: \( V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \).
• Подставим найденные значения \( r = 5 \) см и данное \( h = 12 \) см:
• \( V = \frac{1}{3} \pi \cdot 5^2 \cdot 12 \)
• \( V = \frac{1}{3} \pi \cdot 25 \cdot 12 \)
• \( V = \pi \cdot 25 \cdot \frac{12}{3} \)
• \( V = \pi \cdot 25 \cdot 4 \)
• \( V = 100\pi \) см³.

Ответ: Радиус основания конуса равен 5 см, объем конуса равен 100π см³.