6. Вычислите определенный интеграл: ∫²₁ 6x² dx

Решение:

Для вычисления определенного интеграла \( \int_{1}^{2} 6x^2 dx \) найдем сначала первообразную функции \( f(x) = 6x^2 \), а затем вычислим разность значений первообразной в верхнем и нижнем пределах интегрирования.

Первообразная \( F(x) \) для \( 6x^2 \) равна:

\( F(x) = \int 6x^2 dx = 6 \frac{x^{2+1}}{2+1} = 6 \frac{x^3}{3} = 2x^3 \)

Теперь вычислим определенный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница \( \int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a) \):

\( \int_{1}^{2} 6x^2 dx = F(2) - F(1) = (2 \cdot 2^3) - (2 \cdot 1^3) \)

\( = (2 \cdot 8) - (2 \cdot 1) \)

\( = 16 - 2 \)

\( = 14 \)

Ответ: 14.