10) \(x^4 = (x-42)^2\)

Краткое пояснение:

Данное уравнение можно решить, раскрыв квадрат и приведя его к виду квадратного уравнения, или воспользовавшись свойством \( a^2 = b^2 \Leftrightarrow a = \pm b \).

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Воспользуемся свойством \( a^2 = b^2 \Leftrightarrow a = \pm b \). В нашем случае \( a = x^2 \) и \( b = x-42 \).
2. Шаг 2: Приравняем \( x^2 \) к \( x-42 \) и \( x^2 \) к \( -(x-42) \).
• Случай 1: \( x^2 = x-42 \)
• Перенесем все члены в одну сторону: \( x^2 - x + 42 = 0 \).
• Найдем дискриминант: \( D = (-1)^2 - 4(1)(42) = 1 - 168 = -167 \). Так как \( D < 0 \), это уравнение не имеет действительных решений.
• Случай 2: \( x^2 = -(x-42) \)
• Раскроем скобки: \( x^2 = -x + 42 \).
• Перенесем все члены в одну сторону: \( x^2 + x - 42 = 0 \).
• Найдем дискриминант: \( D = 1^2 - 4(1)(-42) = 1 + 168 = 169 \). \( \sqrt{D} = 13 \).
• Найдем корни: \( x_1 = \frac{-1 + 13}{2} = \frac{12}{2} = 6 \) и \( x_2 = \frac{-1 - 13}{2} = \frac{-14}{2} = -7 \).

Ответ: \( x = 6, x = -7 \)