8) \(\frac{1}{(x-3)^2} - \frac{7}{x-3} - 18 = 0;\)

Краткое пояснение:

Это биквадратное уравнение, которое можно решить заменой переменной.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Введем замену переменной. Пусть \( y = \frac{1}{x-3} \). Тогда уравнение примет вид: \( y^2 - 7y - 18 = 0 \).
2. Шаг 2: Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4(1)(-18) = 49 + 72 = 121 \).
3. Шаг 3: Найдем корни квадратного уравнения: \( y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + \sqrt{121}}{2(1)} = \frac{7 + 11}{2} = \frac{18}{2} = 9 \) и \( y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - \sqrt{121}}{2(1)} = \frac{7 - 11}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \).
4. Шаг 4: Вернемся к исходной переменной \( x \).
• Если \( y = 9 \), то \( \frac{1}{x-3} = 9 \), откуда \( 1 = 9(x-3) \), \( 1 = 9x - 27 \), \( 9x = 28 \), \( x = \frac{28}{9} \).
• Если \( y = -2 \), то \( \frac{1}{x-3} = -2 \), откуда \( 1 = -2(x-3) \), \( 1 = -2x + 6 \), \( 2x = 5 \), \( x = \frac{5}{2} \).

Ответ: \( x = \frac{28}{9}, x = \frac{5}{2} \)