9) (x+5)^4 + (x+5)^2 - 12 = 0

Решение:

Это биквадратное уравнение относительно \( (x+5)^2 \). Сделаем замену переменной: пусть \( y = (x+5)^2 \). Тогда уравнение примет вид:

\[ y^2 + y - 12 = 0 \]

Решим это квадратное уравнение относительно \( y \) с помощью дискриминанта:

\( a = 1, b = 1, c = -12 \)

\[ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49 \]

\[ y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm 7}{2} \]

Получаем два значения для \( y \):

\[ y_1 = \frac{-1 + 7}{2} = \frac{6}{2} = 3 \]

\[ y_2 = \frac{-1 - 7}{2} = \frac{-8}{2} = -4 \]

Теперь вернёмся к исходной переменной \( x \), подставив найденные значения \( y \) в замену \( y = (x+5)^2 \).

Случай 1: \( y_1 = 3 \)

\[ (x+5)^2 = 3 \]

Извлечём квадратный корень из обеих частей:

\[ x+5 = \pm \sqrt{3} \]

Тогда:

\[ x_1 = -5 + \sqrt{3} \]

\[ x_2 = -5 - \sqrt{3} \]

Случай 2: \( y_2 = -4 \)

\[ (x+5)^2 = -4 \]

Так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным, это уравнение не имеет действительных решений.

Таким образом, действительные корни уравнения:

1. \( x = -5 + \sqrt{3} \)
2. \( x = -5 - \sqrt{3} \)

Ответ: \( x = -5 \pm \sqrt{3} \).