7) \(\frac{1}{x^2} + \frac{6}{x} - 40 = 0;\)

Краткое пояснение:

Для решения этого уравнения, которое является квадратным относительно \( \frac{1}{x} \), сделаем замену переменной.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Введем замену переменной. Пусть \( y = \frac{1}{x} \). Тогда уравнение примет вид: \( y^2 + 6y - 40 = 0 \).
2. Шаг 2: Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4(1)(-40) = 36 + 160 = 196 \).
3. Шаг 3: Найдем корни квадратного уравнения: \( y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 + \sqrt{196}}{2(1)} = \frac{-6 + 14}{2} = \frac{8}{2} = 4 \) и \( y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 - \sqrt{196}}{2(1)} = \frac{-6 - 14}{2} = \frac{-20}{2} = -10 \).
4. Шаг 4: Вернемся к исходной переменной \( x \).
• Если \( y = 4 \), то \( \frac{1}{x} = 4 \), откуда \( x = \frac{1}{4} \).
• Если \( y = -10 \), то \( \frac{1}{x} = -10 \), откуда \( x = -\frac{1}{10} \).

Ответ: \( x = \frac{1}{4}, x = -\frac{1}{10} \)