10. y'' + 5y' + 6y = 12, y(0) = 0, y'(0) = 1

Решение:

Данное дифференциальное уравнение является линейным неоднородным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами.

1. Найдем общее решение однородного уравнения y'' + 5y' + 6y = 0.

Характеристическое уравнение: r² + 5r + 6 = 0.

Корни характеристического уравнения: (r+2)(r+3) = 0, следовательно r₁ = -2, r₂ = -3.

Общее решение однородного уравнения: y_h = C₁e^-2x + C₂e^-3x.

2. Найдем частное решение неоднородного уравнения y'' + 5y' + 6y = 12.

Предполагаем частное решение в виде y_p = A (константа, так как правая часть — константа).

Найдем производные:

y_p' = 0

y_p'' = 0

Подставим в неоднородное уравнение:

0 + 5(0) + 6A = 12.

6A = 12 => A = 2.

Частное решение: y_p = 2.

3. Общее решение неоднородного уравнения: y = y_h + y_p = C₁e^-2x + C₂e^-3x + 2.

4. Найдем значения констант C₁ и C₂, используя начальные условия y(0) = 0 и y'(0) = 1.

y(0) = C₁e⁰ + C₂e⁰ + 2 = C₁ + C₂ + 2 = 0 => C₁ + C₂ = -2.

Найдем производную общего решения:

y' = -2C₁e^-2x - 3C₂e^-3x.

y'(0) = -2C₁e⁰ - 3C₂e⁰ = -2C₁ - 3C₂ = 1.

Решим систему уравнений:

C₁ + C₂ = -2

-2C₁ - 3C₂ = 1

Из первого уравнения: C₁ = -2 - C₂.

Подставим во второе уравнение:

-2(-2 - C₂) - 3C₂ = 1

4 + 2C₂ - 3C₂ = 1

4 - C₂ = 1 => C₂ = 3.

Подставим C₂ в первое уравнение: C₁ + 3 = -2 => C₁ = -5.

Окончательное решение: y = -5e^-2x + 3e^-3x + 2.

Ответ: y = -5e^-2x + 3e^-3x + 2.