9. y'' - 4y = 8e^2x, y(0) = 1, y'(0) = 0

Решение:

Данное дифференциальное уравнение является линейным неоднородным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами.

1. Найдем общее решение однородного уравнения y'' - 4y = 0.

Характеристическое уравнение: r² - 4 = 0.

Корни характеристического уравнения: r = ±2.

Общее решение однородного уравнения: y_h = C₁e^2x + C₂e^-2x.

2. Найдем частное решение неоднородного уравнения y'' - 4y = 8e^2x.

Так как e^2x является частью общего решения однородного уравнения (при C₁ = 1, C₂ = 0), мы должны умножить предполагаемое частное решение на x.

Предполагаем частное решение в виде y_p = Axe^2x.

Найдем производные:

y_p' = A(e^2x + 2xe^2x) = Ae^2x(1 + 2x).

y_p'' = 2Ae^2x(1 + 2x) + Ae^2x(2) = 2Ae^2x(1 + 2x + 1) = 2Ae^2x(2 + 2x) = 4Ae^2x(1 + x).

Подставим в неоднородное уравнение:

4Ae^2x(1 + x) - 4(Axe^2x) = 8e^2x.

Разделим на e^2x:

4A(1 + x) - 4Ax = 8.

4A + 4Ax - 4Ax = 8.

4A = 8 => A = 2.

Частное решение: y_p = 2xe^2x.

3. Общее решение неоднородного уравнения: y = y_h + y_p = C₁e^2x + C₂e^-2x + 2xe^2x.

4. Найдем значения констант C₁ и C₂, используя начальные условия y(0) = 1 и y'(0) = 0.

y(0) = C₁e⁰ + C₂e⁰ + 0 = C₁ + C₂ = 1.

Найдем производную общего решения:

y' = 2C₁e^2x - 2C₂e^-2x + 2(e^2x + 2xe^2x).

y'(0) = 2C₁e⁰ - 2C₂e⁰ + 2(e⁰ + 0) = 2C₁ - 2C₂ + 2 = 0.

2C₁ - 2C₂ = -2 => C₁ - C₂ = -1.

Решим систему уравнений:

C₁ + C₂ = 1

C₁ - C₂ = -1

Сложим уравнения: 2C₁ = 0 => C₁ = 0.

Подставим C₁ в первое уравнение: 0 + C₂ = 1 => C₂ = 1.

Окончательное решение: y = e^-2x + 2xe^2x.

Ответ: y = e^-2x + 2xe^2x.