8. y'' + 2y' + 5y = 25x, y(0) = 0, y'(0) = 1

Решение:

Данное дифференциальное уравнение является линейным неоднородным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами.

1. Найдем общее решение однородного уравнения y'' + 2y' + 5y = 0.

Характеристическое уравнение: r² + 2r + 5 = 0.

Корни характеристического уравнения: r = \(\frac{-2 √(4 - 20)}{2}\) = \(\frac{-2 √(-16)}{2}\) = \(\frac{-2 4i}{2}\) = -1 2i.

Общее решение однородного уравнения: y_h = e^-x(C₁cos(2x) + C₂sin(2x)).

2. Найдем частное решение неоднородного уравнения y'' + 2y' + 5y = 25x.

Предполагаем частное решение в виде y_p = Ax + B.

Найдем производные:

y_p' = A

y_p'' = 0

Подставим в неоднородное уравнение:

0 + 2(A) + 5(Ax + B) = 25x

5Ax + 2A + 5B = 25x

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x:

При x: 5A = 25 => A = 5.

Свободный член: 2A + 5B = 0 => 2(5) + 5B = 0 => 10 + 5B = 0 => 5B = -10 => B = -2.

Частное решение: y_p = 5x - 2.

3. Общее решение неоднородного уравнения: y = y_h + y_p = e^-x(C₁cos(2x) + C₂sin(2x)) + 5x - 2.

4. Найдем значения констант C₁ и C₂, используя начальные условия y(0) = 0 и y'(0) = 1.

y(0) = e⁰(C₁cos(0) + C₂sin(0)) + 0 - 2 = 1(C₁ + 0) - 2 = C₁ - 2 = 0 => C₁ = 2.

Найдем производную общего решения:

y' = -e^-x(C₁cos(2x) + C₂sin(2x)) + e^-x(-2C₁sin(2x) + 2C₂cos(2x)) + 5.

y'(0) = -e⁰(C₁cos(0) + 0) + e⁰(0 + 2C₂) + 5 = -(C₁) + 2C₂ + 5 = 1.

-C₁ + 2C₂ + 5 = 1.

Подставим C₁ = 2:

-2 + 2C₂ + 5 = 1 => 2C₂ + 3 = 1 => 2C₂ = -2 => C₂ = -1.

Окончательное решение: y = e^-x(2cos(2x) - sin(2x)) + 5x - 2.

Ответ: y = e^-x(2cos(2x) - sin(2x)) + 5x - 2.