7. y'' - 2y' + y = e^x, y(0) = 0, y'(0) = 0

Решение:

Данное дифференциальное уравнение является линейным неоднородным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами.

1. Найдем общее решение однородного уравнения y'' - 2y' + y = 0.

Характеристическое уравнение: r² - 2r + 1 = 0.

Это уравнение имеет один кратный корень: r = 1.

Общее решение однородного уравнения: y_h = C₁e^x + C₂xe^x.

2. Найдем частное решение неоднородного уравнения y'' - 2y' + y = e^x.

Так как e^x является частью общего решения однородного уравнения (при C₁ = 1, C₂ = 0 или C₁ = 0, C₂ = 1), мы должны умножить предполагаемое частное решение на x².

Предполагаем частное решение в виде y_p = Ax²e^x.

Найдем производные:

y_p' = 2Axe^x + Ax²e^x = A(2x + x²)e^x.

y_p'' = A(2 + 2x)e^x + A(2x + x²)e^x = A(2 + 4x + x²)e^x.

Подставим в неоднородное уравнение:

A(2 + 4x + x²)e^x - 2A(2x + x²)e^x + Ax²e^x = e^x.

Разделим на e^x:

A(2 + 4x + x²) - 2A(2x + x²) + Ax² = 1.

2A + 4Ax + Ax² - 4Ax - 2Ax² + Ax² = 1.

2A = 1 => A = 1/2.

Частное решение: y_p = 1/2 x²e^x.

3. Общее решение неоднородного уравнения: y = y_h + y_p = C₁e^x + C₂xe^x + 1/2 x²e^x.

4. Найдем значения констант C₁ и C₂, используя начальные условия y(0) = 0 и y'(0) = 0.

y(0) = C₁e⁰ + C₂(0)e⁰ + 0 = C₁ = 0.

Найдем производную общего решения:

y' = C₁e^x + C₂(e^x + xe^x) + 1/2 (2xe^x + x²e^x).

y'(0) = C₁e⁰ + C₂(e⁰ + 0) + 0 = C₁ + C₂ = 0.

Так как C₁ = 0, то C₂ = 0.

Окончательное решение: y = 1/2 x²e^x.

Ответ: y = 1/2 x²e^x.