10. Задача на тему «Соотношения между сторонами и углами треугольника». Доказать, что середины сторон равнобедренного треугольника являются вершинами другого равнобедренного треугольника.

Дано:

• △ABC - равнобедренный (AB = BC).
• M, N, P - середины сторон AB, BC, AC соответственно.

Доказать:

• △MNP - равнобедренный.

Доказательство:

1. Рассмотрим △MNP.
2. По теореме Фалеса (или свойству средней линии треугольника):
• MN - средняя линия, соединяющая середины сторон AB и BC, поэтому MN || AC и MN = 1/2 AC.
• NP - средняя линия, соединяющая середины сторон BC и AC, поэтому NP || AB и NP = 1/2 AB.
• MP - средняя линия, соединяющая середины сторон AB и AC, поэтому MP || BC и MP = 1/2 BC.
3. По условию AB = BC.
4. Так как AB = BC, то 1/2 AB = 1/2 BC.
5. Следовательно, NP = MP.
6. По определению, если две стороны треугольника равны, то этот треугольник является равнобедренным.
7. Значит, △MNP - равнобедренный.

Что и требовалось доказать.