20. Задача на тему «Свойства прямоугольных треугольников». В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С внешний угол при вершине А равен 120°, АС + АВ = 18 см. Найти АС и АВ.

Дано:

• △ABC - прямоугольный (∠C = 90°).
• Внешний угол при вершине A = 120°.
• AC + AB = 18 см.

Найти:

• AC, AB.

Решение:

1. Найдем угол ∠BAC. Угол ∠BAC и внешний угол при вершине A смежные, поэтому:
2. \[ \angle BAC + 120^{\circ} = 180^{\circ} \]
3. \[ \angle BAC = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ} \]
4. В прямоугольном треугольнике △ABC:
• ∠C = 90°
• ∠BAC = 60°
• Следовательно, ∠ABC = 180° - 90° - 60° = 30°
5. В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. В нашем случае это катет AC (противоположный углу ∠ABC = 30°).
6. \[ AC = \frac{1}{2}AB \]
7. По условию задачи:
8. \[ AC + AB = 18 \]
9. Подставим выражение для AC в уравнение:
10. \[ \frac{1}{2}AB + AB = 18 \]
11. \[ \frac{3}{2}AB = 18 \]
12. \[ AB = 18 \times \frac{2}{3} \]
13. \[ AB = 12 \]
14. Значит, гипотенуза AB равна 12 см.
15. Найдем катет AC:
16. \[ AC = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} imes 12 = 6 \]
17. AC = 6 см.
18. Проверка:
19. \[ AC + AB = 6 + 12 = 18 \]

Ответ: AC = 6 см, AB = 12 см.