17. Задача на тему «Признаки параллельности двух прямых». В треугольнике АВС угол А равен 40°, а угол ВСЕ, смежный с углом АСВ, равен 80°. Доказать, что биссектриса угла ВСЕ параллельна прямой АВ.

Дано:

• △ABC.
• ∠A = 40°.
• ∠BCE = 80°, где ∠BCE - угол, смежный с ∠ACB.
• CD - биссектриса ∠BCE.

Доказать:

• CD || AB.

Доказательство:

1. Найдем ∠ACB. Так как ∠ACB и ∠BCE - смежные, то их сумма равна 180°.
2. \[ \angle ACB + \angle BCE = 180^{\circ} \]
3. \[ \angle ACB + 80^{\circ} = 180^{\circ} \]
4. \[ \angle ACB = 180^{\circ} - 80^{\circ} = 100^{\circ} \]
5. Теперь найдем угол ∠ABC. Сумма углов треугольника равна 180°.
6. \[ \angle A + \angle ACB + \angle ABC = 180^{\circ} \]
7. \[ 40^{\circ} + 100^{\circ} + \angle ABC = 180^{\circ} \]
8. \[ 140^{\circ} + \angle ABC = 180^{\circ} \]
9. \[ \angle ABC = 180^{\circ} - 140^{\circ} = 40^{\circ} \]
10. CD - биссектриса ∠BCE, значит, она делит этот угол пополам.
11. \[ \angle BCD = \angle DCE = \frac{\angle BCE}{2} = \frac{80^{\circ}}{2} = 40^{\circ} \]
12. Рассмотрим прямые CD и AB и секущую BC.
13. Угол ∠ABC и угол ∠BCD являются накрест лежащими при пересечении прямых CD и AB секущей BC.
14. Так как ∠ABC = 40° и ∠BCD = 40°, то ∠ABC = ∠BCD.
15. Следовательно, CD || AB.

Что и требовалось доказать.