13. Задача на тему «Признаки равенства треугольников». Отрезки АВ и СЕ пересекаются в их общей середине О. На отрезках АС и ВЕ отмечены точки К и М так, что АК равно ВМ. Доказать, что ОК равно ОМ.

Дано:

• Отрезки AB и CE пересекаются в точке O, которая является их общей серединой (AO = OB, CO = OE).
• На отрезках AC и BE отмечены точки K и M.
• AK = BM.

Доказать:

• OK = OM.

Доказательство:

1. Рассмотрим △AOC и △BOE.
2. AO = OB (по условию, O - середина AB).
3. CO = OE (по условию, O - середина CE).
4. ∠AOC = ∠BOE (как вертикальные углы).
5. По двум сторонам и углу между ними (II признак равенства треугольников), △AOC = △BOE.
6. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: ∠CAO = ∠EBO и ∠ACO = ∠BEO.
7. Рассмотрим △AKO и △BMO.
8. AK = BM (по условию).
9. AO = BO (по условию).
10. ∠KAO = ∠MBO (так как ∠CAO = ∠EBO).
11. По двум сторонам и углу между ними (II признак равенства треугольников), △AKO = △BMO.
12. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: OK = OM.

Что и требовалось доказать.