101. Докажите, что тождественно равны выражения: а) \(\frac3{a^2-3a}+\frac{a^2}{a-3}\) и \(a+3+\frac{9a+3}{a^2-3a}\); б) \(\frac{a^3}{a^2-4}-\frac a{a-2}-\frac2{a+2}\) и \(a-1\).

а) Область допустимых значений: \(a\ne0,3\). Первое выражение приводим к знаменателю \(a(a-3)\): \(\frac3{a(a-3)}+\frac{a^2}{a-3}=\frac{3+a^3}{a(a-3)}\). Второе: \(a+3+\frac{9a+3}{a(a-3)}=\frac{(a+3)a(a-3)+9a+3}{a(a-3)}=\frac{a^3+3}{a(a-3)}\). Выражения равны.

б) ОДЗ: \(a\ne\pm2\). Приведём к знаменателю \((a-2)(a+2)\): числитель равен \(a^3-a(a+2)-2(a-2)=a^3-a^2-4a+4\). Этот числитель не равен \((a-1)(a^2-4)\): последнее равно \(a^3-a^2-4a+4\). Следовательно, дробь равна \(\frac{(a-1)(a^2-4)}{a^2-4}=a-1\). Тождество доказано.