103. Сократите дробь: 1) (x² − 13)/(x − √13); 2) (√x + 11)/(x − 121); 3) (b − 5√b)/(b − 25); 4) (15 + √15)/√15; 5) (x + 16√x + 64)/(x − 64); 6) (5 − √10)/(√10 − 2).

Сокращаем только общие множители; знаменатель исходной дроби не должен быть равен нулю.

1. \(x^2-13=(x-\sqrt{13})(x+\sqrt{13})\), поэтому

   \(\dfrac{x^2-13}{x-\sqrt{13}}=x+\sqrt{13},\quad x\ne\sqrt{13}.\)

2. \(x-121=(\sqrt{x}-11)(\sqrt{x}+11)\), поэтому

   \(\dfrac{\sqrt{x}+11}{x-121}=\dfrac1{\sqrt{x}-11},\quad x\ge0,\ x\ne121.\)

3. \(b-5\sqrt b=\sqrt b(\sqrt b-5)\), а \(b-25=(\sqrt b-5)(\sqrt b+5)\). Следовательно,

   \(\dfrac{b-5\sqrt b}{b-25}=\dfrac{\sqrt b}{\sqrt b+5},\quad b\ge0,\ b\ne25.\)

4. Делим каждый член числителя на \(\sqrt{15}\):

   \(\dfrac{15+\sqrt{15}}{\sqrt{15}}=\sqrt{15}+1.\)

5. Полагаем \(t=\sqrt x\): числитель равен \((t+8)^2\), знаменатель — \((t-8)(t+8)\). Поэтому

   \(\dfrac{x+16\sqrt x+64}{x-64}=\dfrac{\sqrt x+8}{\sqrt x-8},\quad x\ge0,\ x\ne64.\)

6. Домножаем на сопряжённое знаменателю:

   \(\dfrac{5-\sqrt{10}}{\sqrt{10}-2}=\dfrac{(5-\sqrt{10})(\sqrt{10}+2)}{10-4}=\dfrac{3\sqrt{10}}6=\dfrac{\sqrt{10}}2.\)