104. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби: 1) 4/√15; 2) 8/√2; 3) 42/(5√7); 4) m⁴/(n√m); 5) (a + 6)/√(a + 6); 6) 1/(√11 − 1); 7) 14/(√17 + √3); 8) 15/(√43 − √13); 9) (x + 6)/(√(x + 10) − 2); 10) (x² − 7x)/(√(x − 6) + 1); 11) (x² − 25)/(2 − √(x − 1)); 12) y/(√(5 + y) + √(4y + 5)).

1. Домножаем на \(\sqrt{15}\): \(\dfrac4{\sqrt{15}}=\dfrac{4\sqrt{15}}{15}\).
2. \(\dfrac8{\sqrt2}=\dfrac{8\sqrt2}{2}=4\sqrt2\).
3. \(\dfrac{42}{5\sqrt7}=\dfrac{42\sqrt7}{35}=\dfrac{6\sqrt7}{5}\).
4. \(\dfrac{m^4}{n\sqrt m}=\dfrac{m^4\sqrt m}{nm}=\dfrac{m^3\sqrt m}{n}\).
5. \(\dfrac{a+6}{\sqrt{a+6}}=\sqrt{a+6}\).
6. Домножаем на сопряжённое: \(\dfrac1{\sqrt{11}-1}=\dfrac{\sqrt{11}+1}{10}\).
7. \(\dfrac{14}{\sqrt{17}+\sqrt3}=\dfrac{14(\sqrt{17}-\sqrt3)}{17-3}=\sqrt{17}-\sqrt3\).
8. \(\dfrac{15}{\sqrt{43}-\sqrt{13}}=\dfrac{15(\sqrt{43}+\sqrt{13})}{43-13}=\dfrac{\sqrt{43}+\sqrt{13}}2\).
9. Домножаем на сопряжённое; разность квадратов равна \(x+6\), который сокращается:

   \(\dfrac{x+6}{\sqrt{x+10}-2}=\sqrt{x+10}+2.\)

10. Домножаем на \(\sqrt{x-6}-1\); получаем множитель \(x-7\) в знаменателе и числителе:

    \(\dfrac{x^2-7x}{\sqrt{x-6}+1}=x(\sqrt{x-6}-1).\)

11. Домножаем на \(2+\sqrt{x-1}\). Так как \(4-(x-1)=5-x\), сокращаем общий множитель:

    \(\dfrac{x^2-25}{2-\sqrt{x-1}}=-(x+5)(2+\sqrt{x-1}).\)

12. Домножаем на разность сопряжённых выражений. Разность квадратов в знаменателе равна \(-3y\):

    \(\dfrac{y}{\sqrt{5+y}+\sqrt{4y+5}}=\dfrac{\sqrt{y+5}-\sqrt{4y+5}}3.\)

Для пунктов 4–5, 9–12 подразумеваются значения переменных из области определения исходных выражений; в пунктах 10–11 сокращение не отменяет ограничений исходного знаменателя.