104. a) Simplify the expression: \(\frac{4a}{a^2 - 1} + \frac{a - 1}{a + 1}\)

Решение:

Для сложения дробей необходимо привести их к общему знаменателю. Общий знаменатель для \(a^2 - 1\) и \(a + 1\) будет \(a^2 - 1\), так как \(a^2 - 1 = (a - 1)(a + 1)\).

1. Приведение к общему знаменателю:
• Первая дробь уже имеет знаменатель \(a^2 - 1\).
• Вторую дробь \(\frac{a - 1}{a + 1}\) домножим на \((a - 1)\) числитель и знаменатель:

\[ \frac{a - 1}{a + 1} \times \frac{a - 1}{a - 1} = \frac{(a - 1)^2}{(a + 1)(a - 1)} = \frac{a^2 - 2a + 1}{a^2 - 1} \]

2. Сложение дробей:

\[ \frac{4a}{a^2 - 1} + \frac{a^2 - 2a + 1}{a^2 - 1} = \frac{4a + a^2 - 2a + 1}{a^2 - 1} = \frac{a^2 + 2a + 1}{a^2 - 1} \]

3. Упрощение результата:

Числитель \(a^2 + 2a + 1\) является полным квадратом \((a + 1)^2\), а знаменатель \(a^2 - 1\) является разностью квадратов \((a - 1)(a + 1)\).

\[ \frac{(a + 1)^2}{(a - 1)(a + 1)} = \frac{a + 1}{a - 1} \]

Ответ: \(\frac{a + 1}{a - 1}\)