B) Simplify the expression: \(\frac{12x}{x^2 - 9} + \frac{x - 3}{x + 3}\)

Решение:

Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю. Знаменатель первой дроби \(x^2 - 9\) можно разложить как разность квадратов: \(x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)\). Этот же множитель \((x - 3)(x + 3)\) будет общим знаменателем для обеих дробей.

1. Приведение к общему знаменателю:
• Первая дробь \(\frac{12x}{(x - 3)(x + 3)}\) остается без изменений.
• Вторую дробь \(\frac{x - 3}{x + 3}\) домножим на \((x - 3)\) числитель и знаменатель:

\[ \frac{x - 3}{x + 3} \times \frac{x - 3}{x - 3} = \frac{(x - 3)^2}{(x + 3)(x - 3)} = \frac{x^2 - 6x + 9}{x^2 - 9} \]

2. Сложение дробей:

\[ \frac{12x}{x^2 - 9} + \frac{x^2 - 6x + 9}{x^2 - 9} = \frac{12x + x^2 - 6x + 9}{x^2 - 9} = \frac{x^2 + 6x + 9}{x^2 - 9} \]

3. Упрощение результата:

Числитель \(x^2 + 6x + 9\) является полным квадратом \((x + 3)^2\), а знаменатель \(x^2 - 9\) является разностью квадратов \((x - 3)(x + 3)\).

\[ \frac{(x + 3)^2}{(x - 3)(x + 3)} = \frac{x + 3}{x - 3} \]

Ответ: \(\frac{x + 3}{x - 3}\)