г) Simplify the expression: \(\frac{m + 2}{3m^2 - 3m} - \frac{1}{m - 1}\)

Решение:

Для вычитания дробей приведем их к общему знаменателю. Знаменатель первой дроби \(3m^2 - 3m\) можно разложить на множители: \(3m^2 - 3m = 3m(m - 1)\). Таким образом, общий знаменатель для обеих дробей будет \(3m(m - 1)\).

1. Приведение к общему знаменателю:
• Первая дробь \(\frac{m + 2}{3m(m - 1)}\) остается без изменений.
• Вторую дробь \(\frac{1}{m - 1}\) домножим на \(3m\) числитель и знаменатель:

\[ \frac{1}{m - 1} \times \frac{3m}{3m} = \frac{3m}{3m(m - 1)} \]

2. Вычитание дробей:

\[ \frac{m + 2}{3m(m - 1)} - \frac{3m}{3m(m - 1)} = \frac{(m + 2) - 3m}{3m(m - 1)} = \frac{m + 2 - 3m}{3m(m - 1)} = \frac{2 - 2m}{3m(m - 1)} \]

3. Упрощение результата:

Числитель \(2 - 2m\) можно вынести за скобки: \(2(1 - m)\). Заметим, что \(1 - m = -(m - 1)\).

\[ \frac{2(1 - m)}{3m(m - 1)} = \frac{-2(m - 1)}{3m(m - 1)} = \frac{-2}{3m} \]

Ответ: \(-\frac{2}{3m}\)