104. Дроби $\frac{n}{20}$ и $\frac{c}{30}$, где $n$ и $c$ — натуральные числа, можно представить в виде десятичных. Могут ли числитель и знаменатель каждой из этих дробей быть взаимно простыми?

Question

Вопрос: $Фото задания: 104. Дроби $\frac{n}{20}$ и $\frac{c}{30}$, где $n$ и $c$ — натуральные числа, можно представить в виде десятичных.…$ Фото задания

104. Дроби $\frac{n}{20}$ и $\frac{c}{30}$, где $n$ и $c$ — натуральные числа, можно представить в виде десятичных. Могут ли числитель и знаменатель каждой из этих дробей быть взаимно простыми?

Accepted Answer

Дробь можно представить в виде конечной десятичной дроби, если после сокращения в её знаменателе остаются только множители 2 и 5.

Для $\frac{n}{20}$: например, при $n=1$ получаем дробь $\frac{1}{20}$. Числа 1 и 20 взаимно просты.

Для $\frac{c}{30}$: например, при $c=1$ получаем дробь $\frac{1}{30}$, но она не является конечной десятичной. Возьмём $c=3$: $\frac{3}{30}=\frac{1}{10}=0{,}1$, а числа 3 и 30 не взаимно просты.

Если числитель и знаменатель взаимно просты, сокращения нет. Тогда знаменатели 20 и 30 должны сами раскладываться только на множители 2 и 5. Число $20=2^2\cdot5$ подходит, а $30=2\cdot3\cdot5$ содержит множитель 3.

Ответ: для $\frac{n}{20}$ — да, для $\frac{c}{30}$ — нет.