1051. Решите систему уравнений: 3) {x/2 - y/3 = 3, 3x/4 + 5y/6 = 4;

Решение:

1. Умножим первое уравнение на 6, чтобы избавиться от дробей:

\( \frac{x}{2} - \frac{y}{3} = 3 \)
\( 6 \cdot \frac{x}{2} - 6 \cdot \frac{y}{3} = 6 \cdot 3 \)
\( 3x - 2y = 18 \) (1')

2. Умножим второе уравнение на 12, чтобы избавиться от дробей:

\( \frac{3x}{4} + \frac{5y}{6} = 4 \)
\( 12 \cdot \frac{3x}{4} + 12 \cdot \frac{5y}{6} = 12 \cdot 4 \)
\( 9x + 10y = 48 \) (2')

3. Решим систему уравнений (1') и (2'):

\( \begin{cases} 3x - 2y = 18 \\ 9x + 10y = 48 \end{cases} \)

Умножим первое уравнение на 3:

\( 3(3x - 2y) = 3 \cdot 18 \)
\( 9x - 6y = 54 \) (1'')

Вычтем уравнение (1'') из уравнения (2'):

\( (9x + 10y) - (9x - 6y) = 48 - 54 \)
\( 9x + 10y - 9x + 6y = -6 \)
\( 16y = -6 \)
\( y = -\frac{6}{16} = -\frac{3}{8} \)

Подставим \( y = -\frac{3}{8} \) в уравнение (1'):

\( 3x - 2(-\frac{3}{8}) = 18 \)
\( 3x + \frac{6}{8} = 18 \)
\( 3x + \frac{3}{4} = 18 \)
\( 3x = 18 - \frac{3}{4} \)
\( 3x = \frac{72 - 3}{4} \)
\( 3x = \frac{69}{4} \)
\( x = \frac{69}{4 \cdot 3} = \frac{23}{4} \)

Проверка:

1. \( \frac{23}{4 \cdot 2} - \frac{-3}{8 \cdot 3} = \frac{23}{8} + \frac{3}{24} = \frac{23 \cdot 3}{24} + \frac{3}{24} = \frac{69 + 3}{24} = \frac{72}{24} = 3 \) (Верно)

2. \( \frac{3 \cdot 23}{4 \cdot 4} + \frac{5 \cdot (-3)}{6 \cdot 8} = \frac{69}{16} - \frac{15}{48} = \frac{69 \cdot 3}{48} - \frac{15}{48} = \frac{207 - 15}{48} = \frac{192}{48} = 4 \) (Верно)

Ответ: x = 23/4, y = -3/8.