Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВопрос:
1095. Упростите выражение: в) 2(\(\frac{x}{2} + \frac{y}{4}\)² + (2x - y)²; г) 3(\(\frac{x}{3} + \frac{y}{9}\)² - (3x - y)².
Ответ:
Краткое пояснение:
Метод: Для упрощения выражений будем использовать формулы квадрата суммы и квадрата разности: (a+b)² = a² + 2ab + b² и (a-b)² = a² - 2ab + b², а также свойства степеней.
Пошаговое решение:
в) 2(\(\frac{x}{2} + \frac{y}{4}\)² + (2x - y)²
- Возведем в квадрат выражение в первой скобке:
\( \left( \frac{x}{2} + \frac{y}{4} \right)^2 = \left( \frac{x}{2} \right)^2 + 2 \cdot \frac{x}{2} \cdot \frac{y}{4} + \left( \frac{y}{4} \right)^2 = \frac{x^2}{4} + \frac{xy}{4} + \frac{y^2}{16} \) - Умножим полученное выражение на 2:
\( 2 \cdot \left( \frac{x^2}{4} + \frac{xy}{4} + \frac{y^2}{16} \right) = \frac{2x^2}{4} + \frac{2xy}{4} + \frac{2y^2}{16} = \frac{x^2}{2} + \frac{xy}{2} + \frac{y^2}{8} \) - Раскроем скобку по формуле квадрата разности:
\( (2x - y)^2 = (2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot y + y^2 = 4x^2 - 4xy + y^2 \) - Сложим полученные выражения:
\( \left( \frac{x^2}{2} + \frac{xy}{2} + \frac{y^2}{8} \right) + (4x^2 - 4xy + y^2) \) - Приведем подобные слагаемые:
\( \left( \frac{x^2}{2} + 4x^2 \right) + \left( \frac{xy}{2} - 4xy \right) + \left( \frac{y^2}{8} + y^2 \right) \)
\( \left( \frac{x^2}{2} + \frac{8x^2}{2} \right) + \left( \frac{xy}{2} - \frac{8xy}{2} \right) + \left( \frac{y^2}{8} + \frac{8y^2}{8} \right) \)
\( \frac{9x^2}{2} - \frac{7xy}{2} + \frac{9y^2}{8} \)
г) 3(\(\frac{x}{3} + \frac{y}{9}\)² - (3x - y)².
- Возведем в квадрат выражение в первой скобке:
\( \left( \frac{x}{3} + \frac{y}{9} \right)^2 = \left( \frac{x}{3} \right)^2 + 2 \cdot \frac{x}{3} \cdot \frac{y}{9} + \left( \frac{y}{9} \right)^2 = \frac{x^2}{9} + \frac{2xy}{27} + \frac{y^2}{81} \) - Умножим полученное выражение на 3:
\( 3 \cdot \left( \frac{x^2}{9} + \frac{2xy}{27} + \frac{y^2}{81} \right) = \frac{3x^2}{9} + \frac{6xy}{27} + \frac{3y^2}{81} = \frac{x^2}{3} + \frac{2xy}{9} + \frac{y^2}{27} \) - Раскроем скобку по формуле квадрата разности:
\( (3x - y)^2 = (3x)^2 - 2 \cdot 3x \cdot y + y^2 = 9x^2 - 6xy + y^2 \) - Вычтем второе выражение из первого:
\( \left( \frac{x^2}{3} + \frac{2xy}{9} + \frac{y^2}{27} \right) - (9x^2 - 6xy + y^2) \) - Раскроем скобки, меняя знаки второго выражения:
\( \frac{x^2}{3} + \frac{2xy}{9} + \frac{y^2}{27} - 9x^2 + 6xy - y^2 \) - Приведем подобные слагаемые:
\( \left( \frac{x^2}{3} - 9x^2 \right) + \left( \frac{2xy}{9} + 6xy \right) + \left( \frac{y^2}{27} - y^2 \right) \)
\( \left( \frac{x^2}{3} - \frac{27x^2}{3} \right) + \left( \frac{2xy}{9} + \frac{54xy}{9} \right) + \left( \frac{y^2}{27} - \frac{27y^2}{27} \right) \)
\( -\frac{26x^2}{3} + \frac{56xy}{9} - \frac{26y^2}{27} \)
Ответ: в) \(\frac{9x^2}{2} - \frac{7xy}{2} + \frac{9y^2}{8}\); г) \(-\frac{26x^2}{3} + \frac{56xy}{9} - \frac{26y^2}{27}\)
Похожие
