1097. Докажите, что все точки графика функции, заданной формулой y = x² - 4x + 5, расположены в верхней полуплоскости.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Запишем данную функцию:
   \( y = x^2 - 4x + 5 \)
2. Выделим полный квадрат из первых двух членов:
   \( x^2 - 4x = (x^2 - 4x + 4) - 4 = (x - 2)^2 - 4 \)
3. Подставим это обратно в уравнение функции:
   \( y = (x - 2)^2 - 4 + 5 \)
4. Упростим выражение:
   \( y = (x - 2)^2 + 1 \)
5. Теперь проанализируем полученное выражение:
   Квадрат любого действительного числа \( (x - 2)^2 \) неотрицателен, то есть \( (x - 2)^2 \ge 0 \) для любого \( x \).
   Следовательно, \( y = (x - 2)^2 + 1 \ge 0 + 1 \).
   \( y \ge 1 \)
6. Так как наименьшее значение \( y \) равно 1, которое больше 0, то все точки графика функции \( y = x^2 - 4x + 5 \) действительно расположены в верхней полуплоскости (где \( y > 0 \)).

Доказано.