1097. Докажите, что все точки графика функции, заданной y = x² - 4x + 5, расположены в верхней полуплоскости.

Краткое пояснение:

Чтобы доказать, что все точки графика функции расположены в верхней полуплоскости, нужно показать, что значение y для любой точки графика всегда больше нуля. Для этого преобразуем квадратный трёхчлен к виду, где минимум функции будет очевиден.

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Выделим полный квадрат в выражении y = x² - 4x + 5.
• Для этого возьмём половину коэффициента при x (это -4/2 = -2) и возведём в квадрат: (-2)² = 4.
• Перепишем функцию, добавив и вычтя 4: y = (x² - 4x + 4) - 4 + 5.
• Шаг 2: Свернём квадрат суммы: y = (x - 2)² + 1.
• Шаг 3: Анализ полученного выражения:
  • Квадрат любого действительного числа (x - 2)² всегда неотрицателен, то есть (x - 2)² ≥ 0.
  • Следовательно, y = (x - 2)² + 1 ≥ 0 + 1, что означает y ≥ 1.
• Вывод: Поскольку минимальное значение функции y равно 1, все значения y больше нуля. Это означает, что все точки графика функции y = x² - 4x + 5 расположены в верхней полуплоскости (где y > 0).

Ответ: Доказано, что y ≥ 1 для всех x, следовательно, все точки графика функции находятся в верхней полуплоскости.