11. Даны две правильные четырёхугольные призмы (см. рис. 249). Первая призма в четыре раза выше второй, а вторая в два с половиной раза шире первой. Во сколько раз объём первой призмы меньше объёма второй?

Question

Вопрос:

Ответ:

ФИО:Телефон:Емаил:Полное описание сути нарушения прав (почему распространение данной информации запрещено Правообладателем):

Accepted Answer

Обозначим:

Объём правильной четырёхугольной призмы вычисляется по формуле: \( V = a^2 \cdot h \), где \( a \) — сторона квадрата в основании, \( h \) — высота.

По условию:

Первая призма в четыре раза выше второй: \( h_1 = 4h_2 \).
Вторая призма в два с половиной раза шире первой (то есть сторона основания второй призмы в 2.5 раза больше стороны основания первой): \( a_2 = 2.5 a_1 \).

Найдем объём первой призмы:

\( V_1 = a_1^2 \cdot h_1 \)

Найдем объём второй призмы:

\( V_2 = a_2^2 \cdot h_2 \)

Подставим известные соотношения в формулу для \( V_2 \):

\( V_2 = (2.5 a_1)^2 \cdot h_2 \)

\( V_2 = (2.5)^2 \cdot a_1^2 \cdot h_2 \)

\( V_2 = 6.25 \cdot a_1^2 \cdot h_2 \)

Теперь найдем отношение объёмов, чтобы узнать, во сколько раз \( V_1 \) меньше \( V_2 \):

\( \frac{V_2}{V_1} = \frac{6.25 \cdot a_1^2 \cdot h_2}{a_1^2 \cdot h_1} \)

Подставим \( h_1 = 4h_2 \):

\( \frac{V_2}{V_1} = \frac{6.25 \cdot a_1^2 \cdot h_2}{a_1^2 \cdot (4h_2)} \)

Сократим \( a_1^2 \) и \( h_2 \):

\( \frac{V_2}{V_1} = \frac{6.25}{4} \)

\( \frac{6.25}{4} = 1.5625 \)

Таким образом, \( V_2 = 1.5625 \cdot V_1 \).

Это означает, что объём второй призмы в 1.5625 раз больше объёма первой призмы.

Нас спрашивают, во сколько раз объём первой призмы меньше объёма второй, что эквивалентно нахождению \( \frac{V_2}{V_1} \).

\( 1.5625 = 1 + 0.5625 = 1 + \frac{5625}{10000} = 1 + \frac{9}{16} = \frac{16+9}{16} = \frac{25}{16} \)

\( 2.5 = \frac{5}{2} \), \( (2.5)^2 = \frac{25}{4} = 6.25 \)

\( \frac{V_2}{V_1} = \frac{6.25}{4} = \frac{25/4}{4} = \frac{25}{16} \)

Объём первой призмы меньше объёма второй в \( \frac{25}{16} \) раз.

Ответ: 25/16.