9. Найдите площадь четырёхугольника, изображённого на клетчатой бу-маге с размером клетки 1 см х 1 см (см. рис. 247). Ответ дайте в квадрат-ных сантиметрах.

Решение:

Для нахождения площади четырёхугольника, изображённого на клетчатой бумаге, мы можем использовать метод подсчёта клеток или метод разбиения на более простые фигуры.

Метод подсчёта клеток:

Подсчитаем количество полных клеток внутри четырёхугольника. Каждая клетка имеет площадь 1 см².

Визуально можно увидеть, что четырёхугольник состоит примерно из 10-12 полных клеток, но точное количество сложно определить без сетки. Этот метод неточен.

Метод разбиения на простые фигуры:

Разделим четырёхугольник на два треугольника с помощью диагонали. Рассмотрим основание как одну из сторон четырёхугольника, которая лежит на одной из линий сетки.

Если мы продлим нижнюю сторону четырёхугольника до пересечения с вертикальной осью, и верхнюю сторону до пересечения с той же осью, мы можем увидеть, что это трапеция, но верхнее основание не параллельно нижнему.

Анализ по вершинам:

Предположим, что вершины четырёхугольника находятся в координатах, заданных сеткой. Пусть левая нижняя вершина находится в (0,0). Тогда:

• Левая нижняя вершина: (0, 0)
• Левая верхняя вершина: (0, 3)
• Правая верхняя вершина: (4, 4)
• Правая нижняя вершина: (5, 0)

Это четырёхугольник. Мы можем разбить его на два треугольника:

1. Треугольник с вершинами (0,0), (0,3), (4,4).
2. Треугольник с вершинами (0,0), (4,4), (5,0).

Площадь первого треугольника:

Основание по оси Y = 3. Высота (перпендикуляр от (4,4) к оси Y) = 4.

\( S_1 = \frac{1}{2} \times основание \times высота = \frac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6 \) см².

Площадь второго треугольника:

Основание по оси X = 5. Высота (перпендикуляр от (4,4) к оси X) = 4.

\( S_2 = \frac{1}{2} \times основание \times высота = \frac{1}{2} \times 5 \times 4 = 10 \) см².

Общая площадь:

\( S = S_1 + S_2 = 6 + 10 = 16 \) см².

Альтернативный способ:

Можно разбить на прямоугольник и два треугольника.

Разделим фигуру вертикально на две части. Левая часть — прямоугольник 4x3, и правая часть — трапеция с основаниями 4 и 0 и высотой 1, и треугольник с основанием 5 и высотой 4. Неудобно.

Используем метод Пика (для многоугольников с вершинами в узлах сетки): \( S = I + \frac{B}{2} - 1 \), где \( I \) — количество внутренних узлов, \( B \) — количество узлов на границе.

Подсчитаем узлы на границе (B):

• Левый вертикальный отрезок: 4 узла (0,0), (0,1), (0,2), (0,3)
• Верхний наклонный отрезок: от (0,3) до (4,4). Проходит через (0,3), (4,4).
• Правый верхний наклонный отрезок: от (4,4) до (5,0). Проходит через (4,4), (5,0).
• Нижний горизонтальный отрезок: 6 узлов (0,0), (1,0), (2,0), (3,0), (4,0), (5,0)

Однако, учтём, что вершины могут быть не точно в узлах. На рисунке видно, что основание фигуры занимает 5 клеток по горизонтали, а левая сторона — 3 клетки по вертикали. Верхняя точка смещена вправо и вверх. Без точной сетки сложно использовать метод Пика.

Предположим, что вершины расположены на узлах сетки:

Вершины: (0,0), (0,3), (4,4), (5,0).

Подсчитаем точки на границе (B):

• (0,0), (1,0), (2,0), (3,0), (4,0), (5,0) — 6 точек
• (0,1), (0,2), (0,3) — 3 точки
• (1,?) (2,?) (3,?) (4,?) — точки на верхних отрезках.

Пересчитаем по клеткам, полагая, что это правильная трапеция, одна сторона которой вертикальна.

На рисунке видно, что нижнее основание занимает 5 клеток. Левая сторона — 3 клетки. Верхняя точка смещена на 4 клетки вправо и 4 клетки вверх от нижней левой вершины. Это не трапеция.

Вернемся к разбиению на треугольники с вершинами (0,0), (0,3), (4,4), (5,0).

Площадь первого треугольника (0,0)-(0,3)-(4,4):

Сторона по оси Y = 3. Высота = 4. \( S_1 = \frac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6 \)

Площадь второго треугольника (0,0)-(4,4)-(5,0):

Сторона по оси X = 5. Высота = 4. \( S_2 = \frac{1}{2} \times 5 \times 4 = 10 \)

Общая площадь = 16 см².

Проверим ещё раз, подсчитав полные и частичные клетки.

Если предположить, что одна клетка — 1 см², то:

• Нижняя часть: 5 полных клеток + частичные клетки.
• Левая часть: 3 полные клетки + частичные клетки.

Наиболее точный способ — использовать формулу площади четырёхугольника по координатам вершин.

Вершины: (0,0), (0,3), (4,4), (5,0).

\( S = \frac{1}{2} |(x_1 y_2 - y_1 x_2) + (x_2 y_3 - y_2 x_3) + (x_3 y_4 - y_3 x_4) + (x_4 y_1 - y_4 x_1)| \)

\( S = \frac{1}{2} |(0 \times 3 - 0 \times 0) + (0 \times 4 - 3 \times 4) + (4 \times 0 - 4 \times 5) + (5 \times 0 - 0 \times 0)| \)

\( S = \frac{1}{2} |0 + (-12) + (-20) + 0| \)

\( S = \frac{1}{2} |-32| = 16 \)

Значит, площадь четырёхугольника равна 16 см².

Ответ: 16.