8. Средний балл выпускника школы, сдавшего ЕГЭ по четырём предметам, составляет 78. Самый низкий результат он показал по математике — 69 баллов (по остальным экзаменам баллы выше). Выберите утверждения, которые следуют из приведённых данных. 1) Средний балл по трём экзаменам, кроме математики, равен 81. 2) Минимальный балл по любому из трёх предметов, не считая математики, больше 78. 3) Ни по одному предмету выпускник не получил 100 баллов. 4) По какому-то предмету выпускник получил больше 79 баллов. В ответе запишите номера выбранных утверждений без пробелов, за-пятых и других дополнительных символов.

Решение:

Обозначим баллы по четырём предметам как \( b_1, b_2, b_3, b_4 \). Известно, что средний балл равен 78, то есть:

\( \frac{b_1 + b_2 + b_3 + b_4}{4} = 78 \)

Сумма баллов по четырём предметам:

\( b_1 + b_2 + b_3 + b_4 = 78 \times 4 = 312 \)

Известно, что самый низкий балл по математике — 69. Пусть \( b_4 = 69 \).

\( b_1 + b_2 + b_3 + 69 = 312 \)

Сумма баллов по остальным трём предметам:

\( b_1 + b_2 + b_3 = 312 - 69 = 243 \)

Теперь проверим утверждения:

1. Утверждение 1): Средний балл по трём экзаменам, кроме математики, равен 81.

Средний балл = \( \frac{243}{3} = 81 \). Утверждение верно.

2. Утверждение 2): Минимальный балл по любому из трёх предметов, не считая математики, больше 78.

Мы знаем, что \( b_1 + b_2 + b_3 = 243 \). Также известно, что по остальным экзаменам баллы выше 69. Если бы все три балла были равны 78, то их сумма была бы \( 78 \times 3 = 234 \). Так как сумма равна 243, то хотя бы один балл должен быть выше 78. Но это не значит, что все три балла выше 78. Например, баллы могут быть 70, 80, 93. Минимальный балл 70 не больше 78. Утверждение не обязательно верно.

3. Утверждение 3): Ни по одному предмету выпускник не получил 100 баллов.

Если бы по одному предмету было 100 баллов, например \( b_1 = 100 \), то \( 100 + b_2 + b_3 = 243 \), \( b_2 + b_3 = 143 \). Возможны такие варианты, как \( b_2=70, b_3=73 \). Так как \( b_2 > 69 \) и \( b_3 > 69 \), это возможно. Если бы выпускник получил 100 баллов по всем трём предметам, то сумма была бы 300, что больше 243. Но это не исключает получение 100 баллов по одному предмету.

Допустим, что выпускник получил 100 баллов по одному из трех предметов (кроме математики). Тогда сумма баллов по двум оставшимся предметам равна \( 243 - 100 = 143 \). Эти два балла должны быть больше 69. Пусть это \( x \) и \( y \). \( x + y = 143 \). Например, \( x = 70 \) и \( y = 73 \). Это возможно, так как \( 70 > 69 \) и \( 73 > 69 \). Поэтому утверждение, что ни по одному предмету не получено 100 баллов, не следует из данных.

4. Утверждение 4): По какому-то предмету выпускник получил больше 79 баллов.

Средний балл по трём предметам (кроме математики) равен 81. Если бы все три балла были равны 79, то сумма была бы \( 79 \times 3 = 237 \). Так как сумма равна 243, то хотя бы один балл должен быть больше 79. Например, если бы два балла были по 79, то третий балл был бы \( 243 - 79 \times 2 = 243 - 158 = 85 \). Утверждение верно.

Ответ: 14.