11. Диагональ BD параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные 50° и 85°. Найдите меньший угол параллелограмма.

Решение:

В параллелограмме ABCD диагональ BD делит углы A и C. Рассмотрим углы, образованные диагональю BD и сторонами AB, BC, AD, CD.

В треугольнике ABD, углы при вершине B равны: \( ∠ ABD = 50^\circ \) и \( ∠ DBC = 85^\circ \).

Угол параллелограмма \( ∠ B = ∠ ABD + ∠ DBC = 50^\circ + 85^\circ = 135^\circ \).

Так как ABCD — параллелограмм, то сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°.

\( ∠ A + ∠ B = 180^\circ \).

\( ∠ A = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ \).

Углы параллелограмма равны \( 45^\circ \) и \( 135^\circ \).

Меньший угол равен \( 45^\circ \).

Ответ: 45°.