11. LM = 2. На рисунке прямоугольник LSKR, точка M лежит на диагонали LS, RM ⟂ LS, ∠RLM = 60°. Найдите периметр прямоугольника LSKR.

Поскольку M лежит на LS, угол RLM равен углу между LR и LS, то есть 60°. В треугольнике LRM угол при M прямой, а LM = 2.

В прямоугольном треугольнике LRM:

\(\tan 60^\circ = \frac{RM}{LM}\), поэтому \(RM = 2\sqrt{3}\).

Также \(\cos 60^\circ = \frac{LM}{LR}\), откуда \(LR = 4\).

В прямоугольном треугольнике RMS угол при M прямой, а угол при L между LM и LR равен 60°, поэтому угол между RM и MS равен 30°. Следовательно, \(\tan 30^\circ = \frac{RM}{MS}\), откуда \(MS = 6\). Тогда диагональ \(LS = LM + MS = 8\).

По теореме Пифагора для прямоугольника: \(LS^2 = LR^2 + LK^2\). Значит, \(LK = \sqrt{8^2 - 4^2} = 4\sqrt{3}\).

Периметр: \(P = 2(LR + LK) = 2(4 + 4\sqrt{3}) = 8 + 8\sqrt{3}\).

Ответ: \(8 + 8\sqrt{3}\).