11. ∠MSP = ∠NSK. Найти ∠MSP. Точки M, S, N лежат на одной прямой; ∠KSP = 90°.

1. Обозначим ∠MSP = ∠NSK = x. Поскольку M, S, N лежат на одной прямой, ∠MSP + ∠PSN = 180°, значит ∠PSN = 180° − x.
2. Смежные углы ∠PSN и ∠NSK дополняют ∠KSP до развёрнутого угла. Поэтому (180° − x) + x + 90° = 180° неверно, поскольку ∠PSN и ∠NSK являются частями угла PSK, а ∠KSP = 90°. Следовательно, ∠PSN + ∠NSK = 90°.
3. Подставляем равенство ∠NSK = x: (180° − x) + x = 90° здесь несовместимо с прямым углом; удобнее обозначить направление лучей: пусть угол между SN и SP равен y. Тогда ∠MSP = 180° − y, а ∠NSK = 90° − y, если SK расположен между SM и SP. Из условия 180° − y = 90° − y получилось бы противоречие, значит используем разбиение развёрнутого угла M-S-N: ∠MSK + ∠KSP + ∠PSN = 180°. При ∠KSP = 90° и ∠MSP = ∠MSK + 90°? Нет.

Уточнение: по рисунку лучи SK и SP образуют прямой угол, а условие задаёт ∠MSP = ∠NSK. Пусть направление SP составляет угол α от луча SN, а направление SK — α − 90°. Тогда ∠MSP = 180° − α, а ∠NSK = 90° − α, что несовместимо. Однако при SK слева от вертикали и SP справа, отмеченный прямой угол между ними равен 90°; равенство внешних углов даёт направления симметричны: если ∠NSK = x, то ∠MSP = x, и вместе с прямым углом: x + 90° + x = 180°.

Ответ: 45°.