Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: 11 На рисунке изображены графики функций \( f(x) = a\sqrt{x} \) и \( g(x) = kx + b \), которые пересекаются в точке А.…Фото задания

Ответ:

Решение:

По графику видим, что функция \( f(x) = a\sqrt{x} \) проходит через точку \( (1, 1) \). Подставим её, чтобы найти \( a \):

\( 1 = a\sqrt{1} \) \( \implies \) \( a = 1 \).

Таким образом, \( f(x) = \sqrt{x} \).

Функция \( g(x) = kx + b \) проходит через точки \( (0, 3) \) и \( (3, 0) \).

Подставим \( (0, 3) \) в \( g(x) \):

\( 3 = k \cdot 0 + b \) \( \implies \) \( b = 3 \).

Теперь уравнение \( g(x) \) имеет вид \( g(x) = kx + 3 \).

Подставим \( (3, 0) \) в \( g(x) \):

\( 0 = k \cdot 3 + 3 \) \( \implies \) \( 3k = -3 \) \( \implies \) \( k = -1 \).

Итак, \( g(x) = -x + 3 \).

Точка пересечения А находится там, где \( f(x) = g(x) \):

\( \sqrt{x} = -x + 3 \)

Возведем обе части в квадрат:

\( x = (-x + 3)^2 \)

\( x = x^2 - 6x + 9 \)

Перенесем все в одну сторону:

\( x^2 - 7x + 9 = 0 \)

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

\( D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 49 - 36 = 13 \)

\( x = \frac{7 \pm \sqrt{13}}{2} \)

Из графика видно, что абсцисса точки пересечения А меньше 3. Проверим оба корня:

  • \( x_1 = \frac{7 + \sqrt{13}}{2} \approx \frac{7 + 3,6}{2} = \frac{10,6}{2} = 5,3 \). Этот корень не подходит, так как он больше 3.
  • \( x_2 = \frac{7 - \sqrt{13}}{2} \approx \frac{7 - 3,6}{2} = \frac{3,4}{2} = 1,7 \). Этот корень подходит.

Также, можно заметить, что на графике точка пересечения находится между 1 и 2. Проверим, подставив \( x = 1 \) и \( x = 2 \) в \( g(x) = -x + 3 \) и \( f(x) = \sqrt{x} \).

  • При \( x=1 \): \( g(1) = -1+3=2 \), \( f(1)=\sqrt{1}=1 \).
  • При \( x=2 \): \( g(2) = -2+3=1 \), \( f(2)=\sqrt{2} \approx 1,41 \).
  • При \( x=1.7 \): \( g(1.7) = -1.7+3 = 1.3 \), \( f(1.7) = \sqrt{1.7} \approx 1.30 \).

Ответ: \( \frac{7 - \sqrt{13}}{2} \).