11. На рисунке изображён график функции вида f(x) = ax^2 + bx + c, где числа a, b и c — целые. Найдите значение f(-12).

Решение:

По графику видно, что вершина параболы находится в точке \( (-3; -1) \). Уравнение параболы можно записать в виде \( f(x) = a(x - x_0)^2 + y_0 \), где \( (x_0, y_0) \) — координаты вершины.

Подставим координаты вершины:

\( f(x) = a(x - (-3))^2 + (-1) \)

\( f(x) = a(x + 3)^2 - 1 \)

Также по графику определим, что парабола проходит через точку \( (-1; 7) \). Подставим её координаты в уравнение:

\( 7 = a(-1 + 3)^2 - 1 \)

\( 7 = a(2)^2 - 1 \)

\( 7 = 4a - 1 \)

\( 8 = 4a \)

\( a = 2 \)

Теперь запишем полное уравнение функции:

\( f(x) = 2(x + 3)^2 - 1 \)

Раскроем скобки, чтобы найти \( b \) и \( c \):

\( f(x) = 2(x^2 + 6x + 9) - 1 \)

\( f(x) = 2x^2 + 12x + 18 - 1 \)

\( f(x) = 2x^2 + 12x + 17 \)

Итак, \( a = 2 \), \( b = 12 \), \( c = 17 \). Все числа — целые, что соответствует условию.

Теперь найдём значение \( f(-12) \):

\( f(-12) = 2(-12 + 3)^2 - 1 \)

\( f(-12) = 2(-9)^2 - 1 \)

\( f(-12) = 2(81) - 1 \)

\( f(-12) = 162 - 1 \)

\( f(-12) = 161 \)

Ответ: 161