Найдите точку максимума функции y = (x + 8)^2 * e^(3 - x).

Решение:

Для нахождения точки максимума функции, найдем её производную и приравняем к нулю.

1. Найдем производную функции \( y = (x + 8)^2 \times e^{3 - x} \) используя правило умножения \( (uv)' = u'v + uv' \), где \( u = (x + 8)^2 \) и \( v = e^{3 - x} \).

\( u' = 2(x + 8) \times 1 = 2(x + 8) \)

\( v' = e^{3 - x} \times (3 - x)' = e^{3 - x} \times (-1) = -e^{3 - x} \)

Теперь подставим в формулу производной:

\( y' = 2(x + 8) \times e^{3 - x} + (x + 8)^2 \times (-e^{3 - x}) \)

\( y' = e^{3 - x} [2(x + 8) - (x + 8)^2] \)

2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

\( e^{3 - x} [2(x + 8) - (x + 8)^2] = 0 \)

Так как \( e^{3 - x} \) всегда больше нуля, то:

\( 2(x + 8) - (x + 8)^2 = 0 \)

Вынесем общий множитель \( (x + 8) \):

\( (x + 8) [2 - (x + 8)] = 0 \)

\( (x + 8) [2 - x - 8] = 0 \)

\( (x + 8) (-x - 6) = 0 \)

Это уравнение имеет два решения:

\( x + 8 = 0 -x - 6 = 0 \)

\( x_1 = -8 -x = 6 \)

x_2 = -6 \)

3. Определим, какая из критических точек является точкой максимума. Для этого проанализируем знак производной. Возьмем точки, например, \( x = -7 \) (между -8 и -6) и \( x = -9 \) (левее -8) и \( x = -5 \) (правее -6).
• При \( x = -9 \) (значение до \( -8 \)):

\( y' = e^{3 - (-9)} [2(-9 + 8) - (-9 + 8)^2] = e^{12} [2(-1) - (-1)^2] = e^{12} [-2 - 1] = -3e^{12} \). Производная отрицательна, функция убывает.

• При \( x = -7 \) (значение между \( -8 \) и \( -6 \)):

\( y' = e^{3 - (-7)} [2(-7 + 8) - (-7 + 8)^2] = e^{10} [2(1) - (1)^2] = e^{10} [2 - 1] = e^{10} \). Производная положительна, функция возрастает.

• При \( x = -5 \) (значение после \( -6 \)):

\( y' = e^{3 - (-5)} [2(-5 + 8) - (-5 + 8)^2] = e^{8} [2(3) - (3)^2] = e^{8} [6 - 9] = -3e^{8} \). Производная отрицательна, функция убывает.

Из анализа знаков производной видно, что в точке \( x = -8 \) происходит смена знака производной с "-" на "+", следовательно, это точка минимума. В точке \( x = -6 \) происходит смена знака производной с "+" на "-", следовательно, это точка максимума.

Ответ: x = -6