12. Найдите наименьшее значение функции y = 9x - 9ln(x + 11) + 7 на отрезке [-10.5; 0].

Решение:

Чтобы найти наименьшее значение функции на отрезке, нужно найти производную функции, приравнять её к нулю, найти критические точки, а затем сравнить значения функции в критических точках, попадающих в отрезок, и на концах отрезка.

1. Найдем производную функции \( y = 9x - 9\text{ln}(x + 11) + 7 \):

\( y' = (9x)' - (9\text{ln}(x + 11))' + (7)' \)

\( y' = 9 - 9 \times \frac{1}{x + 11} \times (x + 11)' + 0 \)

\( y' = 9 - \frac{9}{x + 11} \)

2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

\( 9 - \frac{9}{x + 11} = 0 \)

\( 9 = \frac{9}{x + 11} \)

\( 1 = \frac{1}{x + 11} \)

\( x + 11 = 1 \)

\( x = 1 - 11 \)

\( x = -10 \)

3. Проверим, попадает ли найденная критическая точка \( x = -10 \) в заданный отрезок \( [-10.5; 0] \). Да, попадает.
4. Вычислим значения функции на концах отрезка и в критической точке:
• При \( x = -10.5 \):

\( y(-10.5) = 9(-10.5) - 9\text{ln}(-10.5 + 11) + 7 \)

\( y(-10.5) = -94.5 - 9\text{ln}(0.5) + 7 \)

\( y(-10.5) = -87.5 - 9 \times (-\text{ln}(2)) \)

\( y(-10.5) = -87.5 + 9\text{ln}(2) \)

\( y(-10.5) ≈ -87.5 + 9 \times 0.693 ≈ -87.5 + 6.237 ≈ -81.263 \)

• При \( x = -10 \):

\( y(-10) = 9(-10) - 9\text{ln}(-10 + 11) + 7 \)

\( y(-10) = -90 - 9\text{ln}(1) + 7 \)

\( y(-10) = -90 - 9 \times 0 + 7 \)

\( y(-10) = -90 + 7 \)

\( y(-10) = -83 \)

• При \( x = 0 \):

\( y(0) = 9(0) - 9\text{ln}(0 + 11) + 7 \)

\( y(0) = 0 - 9\text{ln}(11) + 7 \)

\( y(0) = 7 - 9\text{ln}(11) \)

\( y(0) ≈ 7 - 9 \times 2.398 ≈ 7 - 21.582 ≈ -14.582 \)

• Сравним полученные значения: \( -81.263 \), \( -83 \), \( -14.582 \). Наименьшее значение — \( -83 \).

Ответ: -83