11. Найдите значение выражения \( \left( \frac{a}{3} + \frac{3}{a} + 2 \right) \cdot \frac{1}{a+3} \) при \( a = 6 \).

Решение:

Сначала преобразуем выражение в скобках, приведя к общему знаменателю \( 3a \):

\( \frac{a}{3} + \frac{3}{a} + 2 = \frac{a \cdot a}{3a} + \frac{3 \cdot 3}{3a} + \frac{2 \cdot 3a}{3a} = \frac{a^2 + 9 + 6a}{3a} \)

Заметим, что \( a^2 + 6a + 9 \) — это полный квадрат \( (a+3)^2 \).

\( \frac{(a+3)^2}{3a} \)

Теперь умножим это на \( \frac{1}{a+3} \):

\( \frac{(a+3)^2}{3a} \cdot \frac{1}{a+3} = \frac{(a+3)}{3a} \)

Теперь подставим значение \( a = 6 \):

\( \frac{6+3}{3 \cdot 6} = \frac{9}{18} \)

Сокращаем на 9:

\( \frac{1}{2} = 0,5 \)

Ответ: 0,5