11. Постройте график функции y = x² - 4x + 6, если x ≥ 1, и y = 3x, если x < 1, и определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.

Решение:

1. Построение графика функции:

Функция задана кусочно:

• Часть 1: \( y = x^2 - 4x + 6 \) для \( x \geq 1 \). Это парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем вершину параболы. Абсцисса вершины \( x_v = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2 \). Ордината вершины \( y_v = 2^2 - 4 \cdot 2 + 6 = 4 - 8 + 6 = 2 \). Вершина параболы находится в точке \( (2; 2) \).
• Найдём значение функции в точке \( x = 1 \) (начало интервала): \( y = 1^2 - 4 \cdot 1 + 6 = 1 - 4 + 6 = 3 \). Точка \( (1; 3) \) принадлежит графику.
• Найдём несколько дополнительных точек для \( x \geq 1 \):
  • При \( x = 3 \): \( y = 3^2 - 4 \cdot 3 + 6 = 9 - 12 + 6 = 3 \). Точка \( (3; 3) \).
  • При \( x = 4 \): \( y = 4^2 - 4 \cdot 4 + 6 = 16 - 16 + 6 = 6 \). Точка \( (4; 6) \).
• Часть 2: \( y = 3x \) для \( x < 1 \). Это прямая, проходящая через начало координат.
• Найдём значение функции на границе интервала \( x = 1 \) (но точка \( x=1 \) не входит в этот интервал): \( y = 3 \cdot 1 = 3 \). Точка \( (1; 3) \) является граничной, но не включается в эту часть графика.
• Найдём несколько точек для \( x < 1 \):
  • При \( x = 0 \): \( y = 3 \cdot 0 = 0 \). Точка \( (0; 0) \).
  • При \( x = -1 \): \( y = 3 \cdot (-1) = -3 \). Точка \( (-1; -3) \).

2. Определение значений m:

Прямая \( y = m \) — это горизонтальная прямая. Нам нужно найти такие значения \( m \), при которых эта прямая пересекает график функции ровно в двух точках.

Построим график функции. График состоит из части параболы \( y = x^2 - 4x + 6 \) для \( x \geq 1 \) и части прямой \( y = 3x \) для \( x < 1 \). Обе части графика