11. При каких значениях x имеет смысл выражение:

Решение:

1. Выражение \( \sqrt{a} \) имеет смысл, если \( a \ge 0 \). Выражение \( \frac{1}{\sqrt{a}} \) имеет смысл, если \( a > 0 \).
2. а) \( \sqrt{3x} \). Требуется \( 3x \ge 0 \), то есть \( x \ge 0 \).
3. б) \( \sqrt{-2x} \). Требуется \( -2x \ge 0 \), то есть \( x \le 0 \).
4. в) \( \sqrt{x^2} \). \( x^2 \ge 0 \) при любом \( x \), поэтому выражение имеет смысл при \( x \in \mathbb{R} \).
5. г) \( \sqrt{-x^3} \). Требуется \( -x^3 \ge 0 \), то есть \( x^3 \le 0 \), что верно при \( x \le 0 \).
6. а) \( \frac{x-1}{\sqrt{x}} \). Требуется \( x > 0 \).
7. б) \( \frac{3}{\sqrt{x-5}} \). Требуется \( x-5 > 0 \), то есть \( x > 5 \).
8. в) \( \frac{1}{\sqrt{x-2}} \). Требуется \( x-2 > 0 \), то есть \( x > 2 \).
9. г) \( \sqrt{x} \cdot \sqrt{-x} \). Требуется \( x \ge 0 \) и \( -x \ge 0 \), что возможно только при \( x = 0 \).

Ответ: 1) а) \( x \ge 0 \), б) \( x \le 0 \), в) \( x \in \mathbb{R} \), г) \( x \le 0 \). 2) а) \( x > 0 \), б) \( x > 5 \), в) \( x > 2 \), г) \( x = 0 \).