№ 11. Решите уравнение: x-2 = 2 + \(\sqrt{2x + 7}\).

Решение:

1. Изолируем корень: \( x - 2 - 2 = \sqrt{2x + 7} \) \( \Rightarrow \) \( x - 4 = \sqrt{2x + 7} \).
2. Возведём обе части уравнения в квадрат: \( (x - 4)^2 = (\sqrt{2x + 7})^2 \).
3. Раскроем скобки и упростим: \( x^2 - 8x + 16 = 2x + 7 \).
4. Перенесём все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: \( x^2 - 8x - 2x + 16 - 7 = 0 \) \( \Rightarrow \) \( x^2 - 10x + 9 = 0 \).
5. Решим квадратное уравнение. Дискриминант: \( D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 100 - 36 = 64 \). \( \sqrt{D} = 8 \).
6. Найдем корни: \( x_1 = \frac{10 + 8}{2} = \frac{18}{2} = 9 \) и \( x_2 = \frac{10 - 8}{2} = \frac{2}{2} = 1 \).
7. Проверим корни в исходном уравнении:
• Для \( x = 9 \): \( 9 - 2 = 7 \) и \( 2 + \sqrt{2 \cdot 9 + 7} = 2 + \sqrt{18 + 7} = 2 + \sqrt{25} = 2 + 5 = 7 \). \( 7 = 7 \). Корень \( x=9 \) подходит.
• Для \( x = 1 \): \( 1 - 2 = -1 \) и \( 2 + \sqrt{2 \cdot 1 + 7} = 2 + \sqrt{2 + 7} = 2 + \sqrt{9} = 2 + 3 = 5 \). \( -1
  e 5 \). Корень \( x=1 \) не подходит.

Ответ: \( x = 9 \).