11. Решите уравнение x⁴ = (x-6)²

Привет! Давай решим это уравнение шаг за шагом.

У нас есть уравнение: $$ x^4 = (x-6)^2 $$

Шаг 1: Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения.

Важно помнить, что при извлечении квадратного корня из квадрата получается модуль:

$$ √{x^4} = √{(x-6)^2} $$

$$ x^2 = |x-6| $$

Шаг 2: Раскроем модуль.

Модуль $$ |x-6| $$ может быть раскрыт двумя способами:

Случай 1: $$ x-6 ⨋ 0 $$, то есть $$ x ⨋ 6 $$. В этом случае $$ |x-6| = x-6 $$.

Уравнение примет вид: $$ x^2 = x-6 $$

Перенесем все в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$$ x^2 - x + 6 = 0 $$

Найдем дискриминант $$ D $$ по формуле $$ D = b^2 - 4ac $$:

$$ D = (-1)^2 - 4 \times 1 \times 6 = 1 - 24 = -23 $$

Так как $$ D < 0 $$, в этом случае действительных корней нет.

Случай 2: $$ x-6 < 0 $$, то есть $$ x < 6 $$. В этом случае $$ |x-6| = -(x-6) = 6-x $$.

Уравнение примет вид: $$ x^2 = 6-x $$

Перенесем все в одну сторону:

$$ x^2 + x - 6 = 0 $$

Найдем дискриминант:

$$ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \times 1 \times (-6) = 1 + 24 = 25 $$

Найдем корни по формуле $$ x = \frac{-b ± √{D}}{2a} $$:

$$ x_1 = \frac{-1 + √{25}}{2 \times 1} = \frac{-1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2 $$

$$ x_2 = \frac{-1 - √{25}}{2 \times 1} = \frac{-1 - 5}{2} = \frac{-6}{2} = -3 $$

Проверим, удовлетворяют ли эти корни условию $$ x < 6 $$. Оба корня (2 и -3) меньше 6, значит, они подходят.

Шаг 3: Альтернативный подход (перенос в одну сторону).

Можно было перенести все в одну сторону и использовать формулу разности квадратов $$ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) $$:

$$ x^4 - (x-6)^2 = 0 $$

$$(x^2)^2 - (x-6)^2 = 0 $$

$$(x^2 - (x-6))(x^2 + (x-6)) = 0 $$

$$(x^2 - x + 6)(x^2 + x - 6) = 0 $$

Теперь приравняем каждый множитель к нулю:

Множитель 1: $$ x^2 - x + 6 = 0 $$

Как мы уже видели, дискриминант $$ D = -23 < 0 $$, поэтому действительных корней нет.

Множитель 2: $$ x^2 + x - 6 = 0 $$

Дискриминант $$ D = 25 $$. Корни:

$$ x_1 = \frac{-1 + 5}{2} = 2 $$

$$ x_2 = \frac{-1 - 5}{2} = -3 $$

Оба корня являются решениями исходного уравнения.

Ответ: 2, -3