8. В окружности с центром О АС и BD – диаметры. Угол АСВ равен 16°. Найдите угол AOD. Ответ дайте в градусах.

Давай разберемся с этой задачей. У нас есть окружность, центр О, и два диаметра AC и BD.

Что нам дано:

• Угол $$ \triangle ACB = 16^° $$.

Что нужно найти:

• Угол $$ \triangle AOD $$.

Решение:

1. Рассмотрим $$ \triangle BOC $$.
   Так как AC и BD — диаметры, то OB и OC — радиусы окружности. Следовательно, $$ \triangle BOC $$ — равнобедренный ($$ OB = OC $$).
2. Угол $$ \triangle BOC $$.
   Угол $$ \triangle BOC $$ является центральным углом, опирающимся на дугу BC. Угол $$ \triangle BAC $$ — вписанный угол, опирающийся на ту же дугу BC. Вписанный угол равен половине центрального угла, или, наоборот, центральный угол в два раза больше вписанного. Но нам известен угол $$ \triangle ACB $$, а не $$ \triangle BAC $$.
3. Угол $$ \triangle ABC $$.
   Угол $$ \triangle ABC $$ — вписанный угол, опирающийся на дугу AC. Так как AC — диаметр, дуга AC является полуокружностью, и любой вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен 90°. Значит, $$ \triangle ABC $$ — прямоугольный, и $$ \triangle ABC = 90^° $$.
4. Найдем угол $$ \triangle BAC $$.
   В прямоугольном $$ \triangle ABC $$ сумма острых углов равна 90°. Значит, $$ \triangle BAC + \triangle ABC = 90^° $$.
   $$ \triangle BAC + 16^° = 90^° $$
   $$ \triangle BAC = 90^° - 16^° = 74^° $$.
5. Угол $$ \triangle BOC $$.
   Угол $$ \triangle BOC $$ и $$ \triangle BAC $$ опираются на одну дугу BC. Поэтому $$ \triangle BOC = 2 \times \triangle BAC $$. (Это неверно, $$ \triangle BAC $$ опирается на дугу BC, а $$ \triangle BOC $$ - центральный угол, опирающийся на дугу BC.)
6. Пересмотрим $$ \triangle BOC $$.
   Угол $$ \triangle ACB = 16^° $$. Этот угол является вписанным и опирается на дугу AB. Значит, центральный угол, опирающийся на дугу AB, равен $$ 2 \times 16^° = 32^° $$. Таким образом, $$ \triangle AOB = 32^° $$.
7. Углы $$ \triangle AOD $$ и $$ \triangle BOC $$.
   Углы $$ \triangle AOD $$ и $$ \triangle BOC $$ являются вертикальными углами, так как они образованы пересечением двух прямых AC и BD. Вертикальные углы равны.
8. Найдем угол $$ \triangle BOC $$.
   Угол $$ \triangle AOC $$ является развернутым углом (180°), так как AC — диаметр.
   $$ \triangle AOC = \triangle AOB + \triangle BOC $$ (если точки A, O, B, C расположены последовательно).
   Но AC и BD пересекаются в точке O. Значит, $$ \triangle AOB $$ и $$ \triangle COD $$ - вертикальные, а $$ \triangle BOC $$ и $$ \triangle AOD $$ - вертикальные.
9. Угол $$ \triangle COB $$.
   Угол $$ \triangle ACB = 16^° $$. Этот угол является вписанным и опирается на дугу AB. Значит, центральный угол $$ \triangle AOB $$, опирающийся на дугу AB, равен $$ 2 \times 16^° = 32^° $$.
10. Угол $$ \triangle BOC $$.
    Угол $$ \triangle AOC $$ — развернутый, $$180^°$$. $$ \triangle AOC = \triangle AOB + \triangle BOC $$.
    $$180^° = 32^° + \triangle BOC $$
    $$ \triangle BOC = 180^° - 32^° = 148^° $$.
11. Угол $$ \triangle AOD $$.
    Угол $$ \triangle AOD $$ вертикален углу $$ \triangle BOC $$. Значит, $$ \triangle AOD = \triangle BOC = 148^° $$.

Проверим еще раз:

Угол $$ \triangle ACB = 16^° $$. Это вписанный угол, опирающийся на дугу AB. Центральный угол $$ \triangle AOB $$, опирающийся на дугу AB, равен $$ 2 \times 16^° = 32^° $$.

Так как AC и BD — диаметры, они пересекаются в точке O. Углы $$ \triangle AOD $$ и $$ \triangle BOC $$ являются вертикальными, значит, они равны.

Угол $$ \triangle AOC $$ — развернутый, $$180^°$$.

$$ \triangle AOC = \triangle AOB + \triangle BOC $$

$$ 180^° = 32^° + \triangle BOC $$

$$ \triangle BOC = 180^° - 32^° = 148^° $$

Следовательно, $$ \triangle AOD = \triangle BOC = 148^° $$.

Ответ: 148