11 Сформулируйте и докажите утверждения о признаках параллелограмма.

Признаки параллелограмма:

Признак 1: Если в четырёхугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырёхугольник — параллелограмм.

Доказательство: Пусть дан четырёхугольник ABCD, в котором AB || CD и AB = CD. Проведем диагональ AC. Треугольники ABC и ADC равны по двум сторонам и углу между ними (AB=CD, AC - общая, ∠BAC = ∠DCA как накрест лежащие). Следовательно, ∠BCA = ∠CAD, что означает BC || AD. Таким образом, обе пары противоположных сторон параллельны, значит ABCD — параллелограмм.

Признак 2: Если в четырёхугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырёхугольник — параллелограмм.

Доказательство: Пусть в четырёхугольнике ABCD AB=CD и BC=AD. Проведем диагональ AC. Треугольники ABC и ADC равны по трем сторонам (AB=CD, BC=AD, AC - общая). Следовательно, ∠BAC = ∠DCA и ∠BCA = ∠CAD. Из равенства ∠BAC = ∠DCA следует, что AB || CD. Из равенства ∠BCA = ∠CAD следует, что BC || AD. Таким образом, обе пары противоположных сторон параллельны, значит ABCD — параллелограмм.

Признак 3: Если в четырёхугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник — параллелограмм.

Доказательство: Пусть диагонали AC и BD пересекаются в точке O так, что AO=OC и BO=OD. Треугольники AOB и COD равны по двум сторонам и углу между ними (AO=OC, BO=OD, ∠AOB = ∠COD как вертикальные). Следовательно, AB = CD. Аналогично, треугольники BOC и DOA равны, откуда BC = AD. Так как противоположные стороны равны, то четырёхугольник ABCD — параллелограмм (по второму признаку).